Numeraire (Parte 2) 
Función de densidad de probabilidades. 
El precio de los derivados financieros, o más generalmente de varios productos estructurados puede calcularse como el valor descontado de los pagos futuros esperados, bajo los supuestos estándares de mercados completos y sin fricción y comportamiento estocástico para el precio del subyacente. Sin embargo, las probabilidades utilizadas en el proceso de fijación de precios, deducidas a partir de estos contratos derivados son probabilidades de precios esperados para agentes neutrales al riesgo, y por lo tanto, no representan probabilidades reales de los precios esperados.  
La  volatilidad implícita del subyacente se puede obtener a partir del precio de las opciones sobre éste. Más ambicioso que esto resulta el objetivo de obtener, no sólo información sobre un momento de la distribución del precio esperado del subyacente, como la volatilidad, sino la función de densidad del subyacente que permite caracterizar completamente su comportamiento. Esta información, es la lectura al momento del relevamiento de los datos de las expectativas de los agentes del mercado sobre las probabilidades de los distintos escenarios para el subyacente en todo instante futuro hasta el vencimiento.  
Con este propósito,  revisaremos la teoría matemático-financiera necesaria para el cálculo de las funciones RND (risk-neutral density) y aquellas no-neutrales al riesgo RWD (real-world density). Comenzamos con el estudio de la RND en la próxima subsección, para luego analizar algunos detalles de las funciones de densidades reales RWD. 
 Función de densidad neutral al riesgo.  
En los trabajos de Harrison, Kreps y Pliska (Harrison y Kreps, 1979; Harrison y Pliska, 1981) los autores dieron origen a lo que se conoce como probabilistic approach de valuación de activos financieros, que se apoya en la riqueza teórica de la teoría de probabilidades en general y la teoría de martingalas en particular. Estos trabajos se han convertido en la fuente de referencia principal para el actual estado de la teoría de valuación de opciones y valuación libre de arbitraje, para el desarrollo de los modelos que actualmente se utilizan.  
En el artículo (Harrison y Kreps, 1979) los autores desarrollan la teoría necesaria para poder unificar dos líneas de investigación en origen distintas en la teoría de valuación de activos, la primera, la valuación libre de arbitraje y la segunda, la valuación de opciones (cf.(Ross, 1989)). Concretamente, los autores demuestran que en ausencia de oportunidades de arbitraje, y bajo ciertas condiciones de regularidad atribuidas a los procesos estocásticos que satisfacen los precios de los activos, existe una medida de martingala equivalente  a la medida de probabilidad real, bajo la cual el precio de los activos descontados a la tasa de interés libre de riesgo constituye una martingala. A dicha medida de probabilidad se la conoce también como medida de probabilidad neutral al riesgo.  
 
Primer Teorema Fundamental de Valuación de activos. Un modelo para un mercado financiero es libre de arbitraje si y solo si existe al menos una medida de probabilidades Q equivalente a la medida P que hace que el proceso de precios descontados es una Q-martingala. 
Este teorema fue demostrado por Harrison y Pliska en (Harrison y Pliska, 1981) para el caso en que el espacio de probabilidad subyacente (Omega,F,P) es finito, y extendido ese mismo año por Harrison y Kreps en (Harrison y Kreps, 1979) al contexto más general. En el caso general, la condición de no arbitraje resulta ser demasiado débil y tiene que ser reemplazada por un supuesto fuerte (cf. (Harrison y Kreps, 1979)).  
 
Q es la nueva medida de probabilidad, denominada medida neutral al riesgo o medida de martingala, a diferencia de la medida P, llamada medida de probabilidad real.  
La existencia de la medida Q depende entonces sólo de la inexistencia de oportunidades de arbitraje, por ello esta condición no basta en general para asegurar la unicidad de Q. 
 
 
Se conocen contextos en los que existen varias medidas de probabilidad compatibles con la inexistencia de oportunidades de arbitraje (cf. (Schachermayer, 2008) y (Battig y Jarrow, 1999)).  
En relación a este punto tenemos el siguiente resultado: 
Segundo Teorema Fundamental de Valuación de activos. Un modelo libre de arbitraje es completo si y solo si existe una única medida de probabilidades Q equivalente a la medida P que tiene como numerario al activo libre de riesgo.  
Existe el teorema de Feynman-Kac (2) que establece un vínculo entre las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y los procesos estocásticos, y permite constituir la ecuación diferencial de Black, Merton y Scholes a partir de soluciones de ecuaciones diferenciales funcionales.  
                                                                                                        
 
 
 
 
 
 
Cuando una opcion  se acerca al vencimiento, en un escenario neutral al riesgo, las expectativas de los agentes se concentran completamente sobre el precio spot S sub T, obteniendo como distribución límite una delta de Dirac sobre S sub T
Función de densidad real.  
El precio de los derivados financieros, o más generalmente de varios productos estructurados puede calcularse como el valor descontado de los pagos futuros esperados, bajo los supuestos estándares de mercados completos, sin fricción y comportamiento estocástico para el precio del subyacente (cf. (Brunner y Hafner, 2003; Lin y cols., 2006; Perillo, 2006)). Sin embargo, las probabilidades utilizadas en el proceso de fijación de precios, deducidas a partir de estos contratos derivados son probabilidades de precios esperados para agentes neutrales al riesgo, y por lo tanto, no representan probabilidades reales de los precios esperados. En este sentido, esta neutralidad es aceptable para la estimación de rentabilidad esperada, pudiendo corregir precio esperado neutral al riesgo mediante el ajuste de un factor de descuento estocástico.  
En gestión de riesgo, en general, es importante contar con adecuados factores de descuento estocásticos ya que sería engañoso utilizar probabilidades neutrales al riesgo al calcular precios futuros, y por lo tanto para la construcción de estrategias de cobertura de carteras. A las funciones de densidades esperadas neutrales al riesgo se las suele denominar RND, mientras que a aquellas no-neutrales al riesgo, RWD.  
La problemática que esto genera es que un mismo producto puede-tener diferentes escenarios de probabilidad, debido a los diferentes enfoques posibles para estimar la prima por riesgo. Muy comúnmente, y también de forma incorrecta, se suele utilizar la RND para comparar activos distintos, asumiendo que la prima por riesgo sólo depende del agente y no del par agente-activo.  
La aplicación de algunos de los resultados generales de la teoría de probabilidades permiten demostrar que en los cálculos del precio esperado del activo, el cambio de la medida de probabilidad real P a una medida de probabilidad neutral al riesgo Q se obtiene tan solo con cambiar el drift del proceso estocástico (y no de la volatilidad) de precios del subyacente (cf. (Lin y cols., 2006). Estos resultados matemáticos demuestran formalmente que es posible calcular también el precio de un derivado, según la medida de probabilidad neutral al riesgo, con sólo cambiar la tendencia del proceso estocástico del activo subyacente.  
En relación a la determinación de las funciones de densidad de precios relativas a las medidas de probabilidad P y Q, la derivada de Radon-Nikodyn (3) y el teorema Girsanov (4) definen los pasos técnicos para realizar la transformación 
 
 
 
 
Grundy subraya en (Grundy, 1991) que las probabilidades neutrales al riesgo no son verdaderas probabilidades del mundo real ya que no hay agentes neutrales al riesgo, y mediante la comparación de las dos distribuciones el autor deriva una estimación de la aversión al riesgo de los inversores.  
Del mismo modo, otros artículos tratan de corregir probabilidades neutrales al riesgo para obtener probabilidades del mundo real, que dan una representación más exacta de las expectativas de los inversores con aversión al riesgo (Liu, Shackleton, Taylor, y Xu, 2007) y (Vincent-Humphreys, Noss, y cols., 2012).  
En consecuencia, decimos que las expectativas del comportamiento real del precio del activo está caracterizado por la función de densidad de la medida de probabilidad real que identificamos como P, ya que los inversores son no-neutrales al riesgo.  
 Todas las estimaciones de la relación entre ambas funciones de densidad, es decir de la derivada de Radon-Nikodyn, se sustentan en argumentos netamente económicos que consisten esencialmente en estimaciones de los coeficientes de aversión al riesgo y con ello de ciertas funciones de utilidad.  
 
Srdjan Radic Dewar 
 
MBA Finance 



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