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Invierte y gana formando portafolios de inversión a partir del modelo Capital Asset Pricing Model.

                                                                                Para Guillermo Vázquez Rivera por lo importante                                                                                 que fue en mi vida profesional.
 
En esta ocasión calcularemos un portafolio de inversión empleando información del mercado mexicano, pero para activos internacionales y siguiendo el modelo de Harry Markowitz que explicamos en el artículo anterior.
Lo haremos muy simple para que personas con conocimientos o sin este puedan en principio entenderlo y con el propósito de que lo lleven a la práctica con las propias acciones que seleccionen y a partir de ello, determinar si el análisis de riesgo les funciona como criterio para determinar en qué activos invertir y cuánto en cada uno de ellos.
Presentamos el ejercicio más simple, es decir, el de dos activos y únicamente una serie histórica de seis precios de cada acción, pero dado que se hará en Excel, lo único que el lector tendrá que efectuar es una ampliación en el número de renglones e incorporar una mayor cantidad de precios. Asumimos no tienen acceso a información pagada, lo cual no es problema, dado que pueden obtenerla gratuitamente de cualquier página de internet que proporcione precios históricos.
Las acciones seleccionadas fueron Amazon y Pfizer, ambas cotizaciones fueron tomadas del mercado mexicano, por lo que son pesos mexicanos, pero el ejercicio lo pueden tomar en cualquier moneda, pero es indispensable que sea la misma, por ejemplo, dólares americanos. El periodo fue del 16 al 23 de noviembre del 2021 y durante el ejercicio, se colocan en ese orden, es decir, del más antiguo al más reciente.
Para simplificar la tabla de datos de entrada (in put), a las acciones de Amazon las identificaciones como el activo “a” y a las de Pfizer como el activo “b”, el precio es “P”, en tanto que el rendimiento es “R”. La proporción para invertir en cada uno de ellos será identificada con la letra “W” y le asignaremos al activo a el 70% y al activo b el 30%.
A continuación, presentamos la tabla 1 en la que ya está calculado el rendimiento y el riesgo de cada uno de los activos, más otros que son necesarios para obtener los mismos parámetros del portafolio que seleccionamos.
 
Tabla 1
 
En el precio se incluyen dos decimales, pero para los siguientes cálculos se muestran seis decimales y redondeándose en esta, ello con el objetivo de que se muestren cantidades muy pequeñas, como ocurre en las últimas columnas.
Pa y Pb muestran los precios obtenidos en el periodo del 16 al 23 de noviembre, con ellos obtenemos Ra y Rb calculados con la ecuación del rendimiento que es la mostrada a continuación.
 
 
Tomando los precios del activo a, es decir, Amazon, (73,500 – 73,819.45) / 73,819.45 obtenemos el primer rendimiento mostrado por 0.004346, repetimos siendo ahora 73,819.45 – 74,080) / 74,080 para conseguir la cifra de 0.003530 y así sucesivamente. Se hace lo mismo con los precios de Pfizer que es nuestro activo b. Note que partimos de seis precios, pero los rendimientos son solo cinco. Para cada columna del rendimiento se suma y con dicho dato se obtiene el rendimiento para el activo a y para el activo b.
Para el cálculo del rendimiento esperado E (R) y el riesgo medido por la desviación estándar, presentamos la tabla 2 que muestra los datos de salida (out put), posibilitando así manejar de forma más sencilla el diseño de un portafolio de inversión.
 
Tabla 2. Datos de salida
 

 
E (R) para cada es un simple promedio ponderado o media aritmética, para ello, requerimos la suma que se muestra en la columna correspondiente y se divide entre el número cinco, dado que es el número de observaciones que tenemos.
En este sentido E (Ra) se obtuvo dividiendo 0.048848 entre 5 y E (Rb) fue calculado al dividir 0.048038 / 5. Estos valores son a los que llamamos E (R) o R´ de a y de b respectivamente y con lo cual procedemos al cálculo de la varianza empleando la ecuación:



Su lectura señala, a cada rendimiento (R), debemos restar el rendimiento promedio (R´) y posteriormente sumarlos, para finalmente dividirlo entre cinco. Así la primera cifra de -0.005423 de la columna cinco de la tabla 1 es el producto de restar a 0.004346 el rendimiento promedio de 0.009770, lo que repetimos para todos los rendimientos del activo a, la totalidad la sumamos y en todos los casos el resultado tiene que ser cero, de no ocurrir así, es que existe algún error. Procedemos hacer lo mismo con la columna siete, que como vemos también suma cero.
Es cierto que se pudo eliminar las columnas cinco y siete para calcular simplemente la seis y ocho, pero las incluimos como un mecanismo de comprobación que nuestros cálculos han sido los correctos y porque su cálculo lo necesitamos para llegar a la covarianza.
Concluido este procedimiento, a cada una de las cifras, por ejemplo, -0.005423 la elevamos al cuadrado, resultando 0.000029 y la suma de la columna seis nos da 0.001103 que, al dividir entre cinco, tenemos la varianza de a con un monto de 0.000221, para finalmente obtener su raíz cuadrada, expresada como su desviación estándar (SD) con valor de 0.014851. Lo mismo hacemos con la columna ocho para el cálculo de la SD de b que observamos en la tabla 2 como 0.011974.
El primer principio básico de inversión señala que, a mayor plazo, mayor rendimiento, no obstante, en este caso como inversionistas vamos a invertir nuestros recursos monetarios por el mismo tiempo, sin importar si compramos 1, 2 o 3 activos, en este caso, por tanto, la formación de un portafolio con los activos a y b tendrán el mismo horizonte temporal, por ejemplo, un año.
El segundo principio básico expresa que a mayor rendimiento deseado mayor será el riesgo asociado y a menor riesgo deseado menor será el rendimiento esperado. En este sentido, el perfil del inversionista será el que determine que es lo que desea, el agresivo tendrá predilección por el rendimiento y el riesgo será secundario, en tanto que el conservador optará por aquella inversión que busque asegurar un bajo riesgo, aunque el rendimiento esperado sea cercano a cero, e incluso en algunas ocasiones negativo.
Con esta breve introducción podemos ya interpretar nuestras cifras, si en el mercado mexicano analizamos las acciones de Amazon o activo a y las de Pfizer o activo b, el inversionista se encontrará con la disyuntiva, ¿compro Amazon o Pfizer?
De acuerdo con la información histórica, Amazon tiene una expectativa en cuanto a rendimiento de 0.98% con un riesgo asociado de 1.49%. Por el contrario, Pfizer representa la expectativa de 0.96% de rendimiento con riesgo asociado de 1.20%. Observadas como acciones individuales, el inversionista debe interpretar que el segundo principio se cumple, mayor rendimiento equivale a mayor riesgo y viceversa. De tal suerte que, si no tiene miedo al riesgo optará por Amazon, pero si tiene aversión al mismo la opción más viable para su perfil es Pfizer.
Precisamente la teoría de Markowitz plantea la pregunta: ¿Por qué elegir entre una de ellas? Si puede combinarlas y formar así un portafolio o cartera como prefiera llamarle. El desarrollo realizado lo llevó a plantear las dos ecuaciones básicas, la del rendimiento esperado del portafolio E (Rp) y del riesgo a partir de la desviación estándar expresada como SDp, las cuales explicamos en nuestro artículo publicado como teorías y modelos financieros para construir un portafolio de inversión y que mostramos a continuación.
 
 
En la primera tenemos los insumos suficientes para realizar el cálculo, pero nos hace falta el valor de W, es decir, que proporción vamos a invertir en Amazon y cuál en Pfizer. Lo que sabemos es que la cantidad que tenemos para invertir, cualquiera que sea, representa el 100% que, dado que manejamos decimales, es igual a 1.
En este sentido resulta lógico que 1 – Wa = Wb, así que, si asignamos arbitrariamente 70% a Wa, entonces Wb es igual a 30%, con ello, podemos sustituir la información quedando así:
 


La proporción asignada a Wa como señalamos fue arbitraria, por lo que, pudo ser desde 1% hasta 99%, en este sentido el inversionista puede crear tantos portafolios como desee, por ello, en la tabla 2 le asignamos a nuestro ejemplo la denominación P1, pero sin importar la proporción a invertir en cada uno de los dos activos, el resultado de E (Rp) siempre será un valor que se encuentre entre 0.009770 y 0.009608. Si lo desea puede hacer el ejercicio asignando 30% a Wa y 70% a Wb y el resultado es de 0.009656.
Respecto de VARP1 la información faltante es la covarianza, por lo que, antes de proceder a su calculo es necesario obtener este dato. Para ello empleamos la ecuación:
 
 
Es precisamente para lo cual creamos las columnas 5 y 7 de la tabla 1, cuya multiplicación nos dará los últimos datos de esta. Así -0.005423 * -0.001808 es igual a 0.000010, así continuamos hasta completar la columna y procedemos a sumar para obtener la cifra de 0.000023 que es la que dividimos entre cinco y ello nos da la covarianza que expresamos en la tabla 2 siendo de 0.000005.
Con este resultado podemos concluir dos cuestiones, la primera es que la covarianza entre Amazon y Pfizer es muy pequeña, algo que es valorado al formar un buen portafolio de inversión. La segunda es que covarían positivamente, ello quiere decir que si el precio del activo a (Amazon) sube entonces el precio del activo b (Pfizer) también subirá y lo mismo ocurrirá si los precios caen, ambos bajarán de precio. Ahora procedamos al calculo respectivo de la varianza del portafolio que creamos.
 
 
Se calcula la desviación estándar y por lo tanto
 
SDP1 = 0.006787
 
A diferencia del rendimiento esperado, el riesgo no puede ser un simple promedio ponderado de los riesgos de cada uno de los activos integrantes del portafolio, por ello, 0.006787 no es un valor que este entre 0.011974 y 0.014851.
El inversionista por tanto ya diversificó sus recursos y ahora puede maximizar su rendimiento esperado y minimizar el riesgo sin depender de un solo activo, sino que será un balance generado por los movimientos de los dos activos seleccionados. Si diversificamos correctamente el portafolio se adecuará más al perfil de riesgo. La proporción que asignamos arbitrariamente en realidad depende de ello, así si es agresivo se asignará un mayor porcentaje al activo a que resulta ser el de mayor rendimiento esperado, en tanto que si se tiene aversión al riesgo Wb debe tener la mayor cantidad.
La línea del mercado de capitales es el conjunto eficiente de todos los activos y es tangente al conjunto eficiente de todas las distintas combinaciones realizadas con los activos que conforman nuestro portafolio. En la línea del mercado de capitales se invertiría en todas las acciones del mercado.
Para crearla en Excel debemos crear la tabla 3, en la cual se presentan combinaciones que van del 90% en el activo a y 10% en el activo b, pasamos a 80% y 20% respectivamente y así hasta que en el activo a tengamos el 10% y en el activo b el 90%, lo cual significa que hemos creado 9 carteras distintas, que mostramos a continuación.
 
Tabla 3. Cálculo de la frontera eficiente.
 Elaborado por Instituto de Asesoría en Finanzas Internacionales
 
La gráfica de la frontera eficiente y su correspondiente línea del mercado de capitales está generada en Excel, para lo cual el lector deberá seleccionar en gráficas la opción XY (Dispersión), donde el rendimiento esperado está en el eje de las abscisas (X) y la desviación del portafolio en el eje de las ordenadas (Y).
En la gráfica de línea del mercado de capitales mostramos las distintas carteras que creamos y como se puede apreciar la línea recta que es tangente muestra la línea del mercado de capitales con dirección de M1 a M2.
 
Gráfica 1. Frontera eficiente y línea del mercado de capitales
Elaborada por el Instituto de Asesoría en Finanzas Internacionales.
 
De la gráfica 1 podemos hacer varias interpretaciones, comencemos por señalar que cada punto representa una combinación eficiente para algún tipo de inversionista y ello es visible gracias al mapa de dominio que resaltamos mediante la asignación de letras a cada portafolio.
Como era antes de iniciar el diseño y construcción del portafolio de inversión, la decisión de invertir entre Amazon y Pfizer se asemeja al hecho de asignar una proporción muy alta al primero y es precisamente representada por el activo a, que como observamos tiene la expectativa más alta sobre el rendimiento, pero también, el riesgo más elevado. En cambio, si invertimos el porcentaje más alto en las acciones de Pfizer, la cartera b es la de menor rendimiento esperado con el riesgo asociado más bajo. Ello podría suponerse representa regresar al dilema de elegir entre el portafolio a o el portafolio b, pero no es así, para algunos inversionistas es eficiente seleccionar “a” porque su perfil de riesgo denota que es agresivo y precisamente fue diseñado para este tipo de inversionistas. En cambio, elegir “b”, se construye para cubrir al inversionista conservador. En ambos casos sin embargo es mejor cualquiera de las carteras comparativamente a realizar únicamente la compra individual de las acciones de Amazon o Pfizer.
Observemos que entre “b” y “e” está última tiene un rendimiento esperado mayor pero con el mismo riesgo de “b”, es decir, siendo racional cualquier inversionista debería de elegir a “e” y en teoría nadie seleccionaría “b” y sin embargo, afirmamos que es un portafolio eficiente. ¿Por qué? Porque existen inversionistas que la prefiere por otros elementos como podrían ser la liquidez o aspectos subjetivos como el convencimiento de que las acciones de empresas farmacéuticas siempre darán rendimiento, dado que, los consumidores siempre van a comprar medicamento.
El punto “c” cumple con la máxima de obtener el mayor rendimiento con el menor riesgo posible, por lo que, teóricamente todos los inversionistas racionales deberían optar por esta cartera y sin embargo, no lo hacen. ¿Por qué? Porque todos tenemos un perfil de riesgo diferente, algunos buscamos siempre el mayor rendimiento posible, aunque tengamos asociados un riesgo superior y otros desean aspectos distintos a las generadas en el mercado como la liquidez, facilidad de transacción u otros relacionados con la psicología del inversionista.
Los portafolios modelos son precisamente el conservador, el moderado y el agresivo, pero siempre habrá inversionistas que se ubiquen en los extremos, es decir, un conservador podría estar a punto de convertirse en moderado, o un moderado estar casi al borde de ser conservador, por ello, las instituciones financieras que diseñan y ofertan productos financieros como es el caso de fondos de inversión, asignan clasificaciones intermedias como pudiese ser conservadora dinámica o moderada baja entre otras, naturalmente pueden utilizar nombres distintos, lo cual, es posible comprobar en los prospectos de colocación o inversión.
Pasemos ahora a revisar la línea con pendiente positiva enmarcada entre los puntos M1 y M2, la cual, representa a la llamada línea del mercado de capitales, dado que precisamente se genera en este caso con acciones. Para comprenderla, debemos suponer que formamos un portafolio con el mismo número de acciones que forman parte del índice de precios con el cual se construye el principal indicador de una bolsa de valores. Por ejemplo, en la bolsa mexicana de valores se construye como su índice principal el S&P / BMV IPC, en cambio en la bolsa institucional de valores se emplea el índice FTSE BIVA.
La forma de línea recta ascendente es precisamente por invertir en el mercado y por ende, los rendimientos esperados y riesgo son exactamente igual que el portafolio que se crea, tomando así una forma diferente al del ejercicio entre Amazon y Pfizer que realizamos, que tiene una forma de punta de bala.
La línea del mercado de capitales es definida como el conjunto de portafolios de inversión diseñado y construido exclusivamente con las acciones integrantes del índice de precios utilizado en una bolsa de valores y cuyo propósito es replicar su comportamiento.
Si aplicáramos el ejercicio en el mercado estadounidense o el español tendríamos que tomar el Índice Industrial Dow Jones (IIDJ) y el Índice Ibex respectivamente y así para cada plaza en el que se hiciera el ejercicio.
El inversionista se enfrenta a un conjunto de alternativas y puede situarse en cualquier punto de la curva, mediante la selección de una combinación de dos activos. No puede estar en puntos superiores porque no puede aumentar la rentabilidad de los activos individuales, reducir su riesgo o la correlación entre ambos. Tampoco puede estar en algún punto por debajo de la curva porque no puede reducir las rentabilidades, incrementar su desviación estándar o su correlación. Por lo tanto, depende de su aversión al riesgo si se sitúa en un punto u otro de la curva.
 
Cálculo de la proporción a invertir con riesgo cero.
 
Hasta ahora hemos supuesto las proporciones a invertir, pero es posible obtener aquella W que represente la mejor opción. En particular el portafolio “c” en la gráfica que acabamos de presentar se interpreta como el punto del activo libre de riesgo y a partir del cual todos los inversionistas querrían invertir si su objetivo fuese maximizar el rendimiento esperado y minimizar el riesgo, en caso de correr mayor riesgo pedirían un mayor rendimiento.
La ecuación de la varianza del portafolio, podemos modificarla, para ello debemos considerar que covarianza (COV) dividida entre las multiplicaciones de las desviaciones de los dos activos que forman la cartera, permite obtener la correlación, es decir, matemáticamente esto queda expresado como así:
 
La correlación puede asumir dos valores extremos +1 y –1, si ocurre el primero estamos afirmando que los activos cambian en la misma proporción y su movimiento es en la misma dirección, es decir, cuando el precio de uno de los activos se mueve al alza por ejemplo el otro se mueve también al alza y en la misma proporción. Si CORR es igual a –1 la proporción es la misma, pero en el cambio en los activos es inverso, uno aumenta y el otro disminuye. Empleando la ecuación anterior y sustituyéndola en la ecuación relativa a la covarianza tenemos que:
 
Si CORR es igual a 1 y sustituimos en (3.5), tenemos:
 
Dado que es un cuadrado perfecto al sacar la raíz cuadrada se recompone quedando como:
 
 
Si CORR es igual a –1 y sustituimos en la ecuación de la varianza del portafolio, se modifica resultando lo siguiente:
 
Al obtener la raíz cuadrada resulta:
 
 
En esta última ecuación si suponemos que SDp es igual a cero y mediante los pasos algebraicos necesarios tenemos que:
 
Procedemos entonces a despejar Wa, donde recordemos que Wb la podemos expresar como 1 – Wa, por tanto, se puede sustituir y expresar como:
 
 
Aplicando en nuestro ejemplo, Wa se obtiene dividiendo 0.014851 / (0.014851 + 0.011974) dando como resultado 0.55 lo cual querría decir que para encontrar el portafolio “c” en el que se maximiza el rendimiento esperado y se minimiza el riesgo hay que invertir el 55% en el activo “a” y el 55% en el activo “b”.
A partir de ese punto, cualquier portafolio que nos ofrezcan como inversionista deberá de pagar un rendimiento mayor y aceptaremos que entre más elevado sea, el riesgo asociado también lo será.
 
El concepto de Beta y su interpretación.
 
Beta es la medida de riesgo sistemático y puede asumir tres valores, el primero es mayor a cero, lo cual es interpretado como el hecho que un activo respecto a otro o con relación al mercado cambia en mayor proporción cuando el activo de referencia modifica su precio. El segundo es igual a uno, en cuyo caso significa que un activo respecto a otro o al mercado se mueve en la misma proporción cuando el activo de referencia o el mercado cambia. Tercero, menor a uno, esta situación representa que un activo con relación a otro o al mercado se modifica en menor proporción cuando el activo de referencia o el mercado se mueve.
¿Cómo usamos este indicador? Lo relacionamos con el perfil de riesgo del inversionista, si es agresivo, lo adecuado es que busque betas mayores a uno, si es conservador resulta mejor activos con betas menores a uno y si desea replicar el mercado o su objetivo es maximizar el rendimiento esperado y minimizar el riesgo, tiene que seleccionar aquellos con beta igual a uno.
El cálculo de la beta se obtiene aplicando la siguiente fórmula.
 
La beta de un activo se puede calcular con respecto a otro activo, o con respecto al mercado en la ecuación mostramos la beta del activo con respecto del mercado, pero para fines de nuestro ejercicio calculamos la beta del activo “a” con respecto al activo “b”, por lo tanto, la beta de nuestro portafolio es igual a:
 

El modelo Capital Asset Pricing Model (C.A.P.M.)
 
El CAPM tiene dos objetivos fundamentales que se derivan de la relación específica entre rendimiento esperado y riesgo asumido por los activos o portafolios con respecto al mercado y la tasa libre de riesgo. Estos dos objetivos son: Determinar la rentabilidad de cada activo en función de su riesgo y obtener un indicador adecuado de dicho riesgo.
 
El riesgo específico puede disminuir por la diversificación, y, por ende, el mercado no lo remunera, aunque si remunera el riesgo sistemático medido por la Beta. El modelo CAPM tiene las siguientes hipótesis:
 
La rentabilidad esperada de los activos se relacionada con el riesgo sistemático, por lo tanto, el riesgo sistemático de un activo es igual a la Beta de dicho activo y la varianza del mercado.
La rentabilidad del activo sin riesgo (expresada como el rendimiento de un título de deuda emitido por el gobierno), no parte de un rendimiento histórico, sino que es previamente determinado por el emisor. Se expresa como Rf.
El mercado de activos tiene un índice con el cual podemos determinar el rendimiento del mercado, al tratar solo el mercado de acciones, el rendimiento del mercado se obtiene de la variación que tiene el Índice de Precios y Cotizaciones que se maneje en la bolsa de valores. Se expresa como Rm.
Todo inversionista que invierte en el mercado de acciones asume un riesgo por el que tiene que percibir una prima de riesgo medida por la diferencia entre la rentabilidad del mercado y la rentabilidad del activo libre de riesgo. 
Un inversionista espera obtener la prima de riesgo que desee, invirtiendo una parte de sus recursos en el mercado y el resto en títulos de deuda sin riesgo. 
 
Por lo tanto, el modelo se puede formular de la siguiente forma:


Si suponemos una tasa libre de riesgo de 5% y un rendimiento del mercado del 20% y asumimos las tres posibles Betas en el mercado, los resultados de Rp serían:
 
De lo anterior podemos formular dos conclusiones, la primera que a mayor Beta la prima de riesgo se eleva, la segunda es que la cartera del mercado cuya Beta es igual a 1 tiene como rentabilidad esperada el rendimiento del mercado Rm, en tanto que los valores o carteras con Beta mayor a 1 tendrán una rentabilidad esperada superior a Rm, y los activos o carteras con Beta menor a 1 tendrán rendimientos esperados inferiores a Rm.
Las betas de los activos respecto del mercado regularmente ya son publicadas, así, en el caso de las acciones Amazon y Pfizer son 1.11 y 0.67 respectivamente calculadas de forma mensual durante un periodo de 5 años. Este indicador nos confirma lo que mencionamos, Amazon resulta más riesgoso por lo que un portafolio en donde asignemos una mayor proporción a este activo será porque el perfil de riesgo del inversionista es agresivo. En cambio, si es conservador lo mejor es asignar un mayor porcentaje de nuestros recursos a Pfizer para que la cartera que diseñemos se acerque más a su rendimiento esperado.
Naturalmente el ejercicio puede ampliarse a tres o más activos y formar los portafolios que deseemos, pero al lograr dominar el análisis de riesgo, la expectativa de generar ganancias de capital en sus inversiones con acciones se eleva considerablemente.
Durante nuestra explicación y ejercicio tomamos como activo títulos accionarios, pero puede ser aplicado a cualquier activo que su precio de mercado se determine por la oferta y la demanda, así que puede emplear oro y plata, futuros y otras alternativas que existen en los mercados financieros nacionales o internacionales.
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Confiamos que este artículo les haya sido útil y esperamos sus comentarios al respecto, con el propósito de mejorar en los futuros temas a exponer.
 
 
Bibliografía.
 
Díaz Mondragón, Manuel. (2004). Invierta con éxito en la bolsa y otros mercados financieros. Editorial Gasca – Sicco. México.
Díaz Mondragón, Manuel. (2009) Mercado de valores, teoría y práctica. Editorial Gasca – Sicco. México.
Díaz Mondragón, Manuel. (2016) Portafolios de inversión. Editorial Trillas. México.
Gitman, Lawrence J. y Joehnk, Michael. (2009) Fundamentos de inversión. Pearson Educación. México.
Markowitz, H. M. (1952) “Portfolio selection”, Journal of Finance, 7, (1).
Sharpe, W. F. (1978) “New evidence on the Capital Assets Pricing Model; Discussion”. Journal of Finance, 33.
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